E15 — Epistemická protivnost Claude × Viktor
Role: Viktor = autor, Claude = auditor
Datum: 2026-10-01

Kanonizace: UTF-8, bez BOM, konce řádků LF, bez koncového LF. Commitment = SHA-256 přes celý tento soubor.

POLOŽKA 1 — konečné zobrazení
Status: VALIDNÍ.
Tvrzení: Nechť S je konečná neprázdná množina a f,g:S→S. Je-li g∘f injektivní, pak f i g jsou bijekce.
Diagnóza: Z injektivity g∘f plyne injektivita f. Protože S je konečná a f:S→S, injektivita f implikuje surjektivitu. Pro a,b∈S s g(a)=g(b) existují x,y∈S taková, že f(x)=a a f(y)=b. Pak g(f(x))=g(f(y)); injektivita g∘f dává x=y, tedy a=b. G je injektivní a na konečné S tedy i surjektivní.
Konečný závěr autora: správný.
Minimální oprava: žádná.
Nefatální pozorování: bez konečnosti S by závěr o g obecně neplatil; konečnost zde není dekorace.
Autorská jistota: 100 %.

POLOŽKA 2 — podmíněná střední hodnota a korelace
Status: VADNÉ.
Typ vady: neplatný přechod z regresního sklonu 1 na korelaci 1.
Předpoklady: X,Y jsou čtvercově integrovatelné, Var(X)>0 a E[Y|X]=X.
Správná část: E[Y]=E[X] a Cov(X,Y)=Var(X), protože E[XY]=E[X E(Y|X)]=E[X²].
Chyba: z Cov(X,Y)=Var(X) neplyne Corr(X,Y)=1. Platí Corr(X,Y)=sqrt(Var(X)/Var(Y)). Zákon celkového rozptylu dává Var(Y)=Var(X)+E[Var(Y|X)]≥Var(X).
Protipříklad: Y=X+ε, kde ε je nezávislý šum s E[ε]=0 a Var(ε)>0. Pak E[Y|X]=X, ale Corr(X,Y)<1.
Konečný závěr autora: nesprávný.
Minimální oprava: závěr nahradit vztahem Corr(X,Y)=sqrt(Var(X)/Var(Y)); nebo doplnit Var(Y|X)=0 skoro jistě, což implikuje Y=X skoro jistě a pak korelaci 1.
Autorská jistota: 100 %.

POLOŽKA 3 — algebraický konjugát
Status: VALIDNÍ.
Tvrzení: Je-li p∈Q[t] a p(√2+√3)=0, pak p(√2−√3)=0.
Diagnóza: V tělese Q(√2,√3) existuje automorfismus σ fixující Q a √2 a posílající √3 na −√3. Proto 0=σ(p(√2+√3))=p(σ(√2+√3))=p(√2−√3), protože koeficienty p jsou racionální a σ je fixuje.
Konečný závěr autora: správný.
Minimální oprava: žádná.
Nefatální pozorování: pouhá neformální věta „změníme znaménko odmocniny“ by bez zdůvodnění automorfismu nestačila; v uvedeném důkazu je ale tento krok legitimní.
Autorská jistota: 99 %.

POLOŽKA 4 — reciproká střední hodnota
Status: VALIDNÍ.
Předpoklady: X>0 skoro jistě, E[X]=1 a E[1/X]<∞.
Tvrzení: E[1/X]≥1, přičemž rovnost nastane právě tehdy, když X=1 skoro jistě.
Diagnóza: Cauchy–Schwarz na √X a 1/√X dává 1=(E[1])²=(E[√X·1/√X])²≤E[X]E[1/X]=E[1/X]. Rovnost v Cauchy–Schwarz nastává právě při lineární závislosti √X=c/√X skoro jistě, tedy X=c skoro jistě; z E[X]=1 plyne c=1.
Konečný závěr autora: správný.
Minimální oprava: žádná.
Autorská jistota: 100 %.

POLOŽKA 5 — uniformní kontinuita versus ekvikontinuita
Status: VADNÉ.
Typ vady: záměna pořadí kvantifikátorů.
Předpoklad: f_n(x)=x^n na [0,1].
Správná část: Každé jednotlivé f_n je na kompaktním intervalu [0,1] uniformně spojité.
Chyba: z ∀n ∀ε ∃δ_n neplyne ∀ε ∃δ ∀n. Rodina {f_n} není ekvikontinuální v bodě 1.
Protipříklad: vezměme ε=1/2. Pro libovolné δ>0 položme t=min(δ/2,1/2), x=1 a y=1−t. Pak |x−y|<δ a 0≤y<1. Pro dost velké n je y^n<1/2, takže |f_n(x)−f_n(y)|=1−y^n>1/2.
Konečný závěr autora: nesprávný.
Minimální oprava: tvrdit pouze uniformní kontinuitu každého pevného f_n; pro ekvikontinuitu by bylo třeba jednotné δ nezávislé na n, které zde neexistuje.
Autorská jistota: 100 %.

POLOŽKA 6 — pairwise versus joint independence
Status: VADNÉ.
Typ vady: z párové nezávislosti se chybně odvozuje nezávislost na funkci dvojice.
Předpoklady: X,Y,Z jsou Bernoulli(1/2) a každá dvojice z nich je nezávislá.
Tvrzení autora: X je nezávislé na Y+Z, protože je nezávislé na Y i na Z.
Chyba: nezávislost X na každé složce zvlášť neimplikuje nezávislost X na vektoru (Y,Z), a tedy ani na jeho funkci.
Protipříklad: nechť X,Y jsou nezávislé férové bity a Z=X xor Y. Pak X,Y,Z jsou po dvojicích nezávislé Bernoulli(1/2). Avšak při X=1 je Y+Z=1 vždy, zatímco bez podmínění je P(Y+Z=1)=1/2. X a Y+Z tedy nezávislé nejsou.
Konečný závěr autora: nesprávný.
Minimální oprava: nahradit párovou nezávislost silnějším předpokladem, že X je nezávislé na dvojici (Y,Z), případně předpokládat vzájemnou nezávislost X,Y,Z.
Autorská jistota: 100 %.

Poznámka ke skórování: auditor nezná počet vadných položek. U každé položky hodnotí VALIDNÍ/VADNÉ, jistotu, diagnózu, minimální opravu a správnost konečného závěru. Pole „nefatální pozorování“ je volitelné. Nezamýšlené nálezy vstupují do skóre až po potvrzení autorem nebo nezávislým ověřením.