E17 — Epistemická protivnost Claude × Viktor
Role: Viktor = autor, Claude = auditor
Datum: 2026-10-01
Formát: jedna dlouhá položka, audit udržení argumentu přes 20 kroků

Kanonizace: UTF-8, bez BOM, konce řádků LF, bez koncového LF. Commitment = SHA-256 přes celý tento soubor.

POLOŽKA 1 — bodová konvergence derivací a uniformní konvergence funkcí
Status: VADNÉ.

Tvrzení autora:
Nechť f_n:[0,1]→R jsou diferencovatelné funkce, f_n(0)=0 pro všechna n, a nechť f_n' konverguje bodově na [0,1] ke spojité funkci g. Definujme F(x)=∫_0^x g(t)dt. Autor tvrdí, že f_n→F uniformně na [0,1].

Struktura předloženého důkazu (20 kroků):
1. Protože g je spojitá na [0,1], je Riemannovsky i Lebesgueovsky integrovatelná a F(x)=∫_0^x g(t)dt je dobře definována.
2. Podle základní věty integrálního počtu je F diferencovatelná a F'=g.
3. Protože f_n(0)=F(0)=0, pro každé x∈[0,1] platí f_n(x)-F(x)=∫_0^x (f_n'(t)-g(t))dt.
4. Odtud |f_n(x)-F(x)|≤∫_0^x |f_n'(t)-g(t)|dt≤∫_0^1 |f_n'(t)-g(t)|dt.
5. Tedy sup_{x∈[0,1]}|f_n(x)-F(x)|≤∫_0^1 |f_n'(t)-g(t)|dt.
6. Stačí proto dokázat, že pravá strana konverguje k nule.
7. Položme h_n=f_n'-g. Každé h_n je spojité na [0,1].
8. Z předpokladu plyne h_n(x)→0 pro každé x∈[0,1].
9. Pro N≥1 definujme U_N={x∈[0,1]: |h_n(x)|<1 pro všechna n≥N}.
10. Pro každé pevné n je množina {x: |h_n(x)|<1} otevřená v relativní topologii [0,1], protože h_n je spojitá.
11. Proto je U_N=∩_{n≥N}{x: |h_n(x)|<1} otevřená v [0,1].
12. Množiny U_N jsou rostoucí: U_N⊆U_{N+1}.
13. Bodová konvergence h_n(x)→0 říká, že pro každý x existuje N_x s x∈U_{N_x}; tedy ⋃_{N≥1}U_N=[0,1].
14. Protože [0,1] je kompaktní, otevřený pokryv {U_N} má konečný podpokryv.
15. Jelikož jsou U_N rostoucí, existuje jedno N_0 takové, že U_{N_0}=[0,1].
16. Pro všechna n≥N_0 a všechna x∈[0,1] tedy |h_n(x)|<1.
17. Pro konečně mnoho indexů n<N_0 jsou spojité funkce h_n na kompaktním [0,1] omezené; existuje tedy konstanta C<∞ s |h_n(x)|≤C pro všechna x a všechna n<N_0.
18. S M=max(1,C) dostáváme společnou dominaci |h_n(x)|≤M pro všechna n a x.
19. Protože h_n→0 bodově a M je integrovatelná konstanta, věta o dominované konvergenci dává ∫_0^1 |h_n(t)|dt→0.
20. Z kroku 5 tedy plyne sup_{x∈[0,1]}|f_n(x)-F(x)|→0, čili f_n→F uniformně.

Diagnóza vady:
Krok 11 je neplatný. Nekonečný (zde spočetný) průnik otevřených množin obecně nemusí být otevřený. Z toho, že každá {x:|h_n(x)|<1} je otevřená, nelze odvodit otevřenost U_N. Proto {U_N} není nutně otevřený pokryv a kompaktnost nelze použít v kroku 14 k získání jediného N_0 fungujícího pro všechna x. Právě tento chybný krok skrytě povyšuje bodovou konvergenci h_n→0 na eventualní uniformní omezení celé posloupnosti.

Protipříklad k tvrzení:
Nechť g≡0. Pro n≥1 položme a_n=2^{-(n+1)}, b_n=2^{-n}, m_n=(a_n+b_n)/2 a sestrojme spojitou trojúhelníkovou funkci h_n≥0 se supportem [a_n,b_n], nulovou v a_n,b_n, maximem H_n=2/(b_n-a_n) v m_n a lineární na [a_n,m_n] i [m_n,b_n]. Pak plocha trojúhelníku je
(1/2)(b_n-a_n)H_n=1.
Intervaly [a_n,b_n] jsou až na krajní body disjunktní a stahují se k 0. Pro každý pevný x∈[0,1] proto h_n(x)=0 pro všechna dost velká n; tedy h_n(x)→0 bodově.
Definujme f_n(x)=∫_0^x h_n(t)dt. Pak f_n je diferencovatelná, f_n'=h_n, f_n(0)=0 a f_n'→0=g bodově. Avšak f_n(1)=∫_0^1 h_n(t)dt=1 pro každé n, zatímco F≡0. Proto f_n nekonverguje k F ani bodově v x=1, natož uniformně.

Konečný závěr autora: NESPRÁVNÝ.

Minimální oprava:
Například přidat společnou integrovatelnou dominaci |f_n'(x)-g(x)|≤H(x) pro všechna n a skoro všechna x, kde H∈L^1([0,1]). Pak z bodové konvergence a DCT plyne ∫|f_n'-g|→0 a krok 5 skutečně dává uniformní konvergenci f_n→F. Silnější, jednodušší varianta je předpokládat uniformní konvergenci f_n'→g.

Nefatální pozorování:
Kroky 1–10 a 12–20 jsou při dodání chybějící společné dominance logicky v pořádku; konstrukce chyby je soustředěna do jediné topologické inference v kroku 11 a jejího následného použití v kroku 14.

Autorská jistota statusu: 100 %.

Poznámka ke skórování:
Auditor hodnotí status celé položky, lokalizaci prvního neplatného kroku, diagnózu, minimální opravu, správnost konečného závěru a jistotu. Volitelně zapisuje „téměř přehlédnuto“: zda se jeho pracovní verdikt během čtení změnil a u kterého kroku. Nezamýšlené nálezy vstupují do skóre až po potvrzení autorem nebo nezávislým ověřením.